Приёмы решения задачи ЕГЭ по информатике и ИКТ по теме "Основы логики"

Рассмотрим пример задачи на логику. Такой тип задач встречался в заданииВ7 ЕГЭ по информатике 2011 года.

Четыре студента - Денис, Коля, Рустем и Соня по итогам сессии стали лучшими, но пока неизвестно, кто из них на каком месте находится. Сокурсники высказали предположения о распределении мест:

1) первым будет Денис, вторым - Коля;

2) вторым будет Рустем, четвёртой - Соня;

3) Денис будет вторым, Соня - третьей. 

Когда появились результаты рейтинга, оказалось, что в каждом предложении одно высказывание было истинным, а другое ложным. Как распределились места в рейтинге?

Решение: 

Способ 1.
Попробуем решить эту задачу формальным методом. Введём обозначение высказываний. 

Д1 - Денис занял первое место. 

К2 - Коля занял второе место.

. . .

Буква будет обозначать имя, цифра - место в рейтинге.

Сразу следует исключить высказывания вида:

Д1 и Д2 = 0, так как один человек не может занимать два места в рейтинге одновременно.

Д1 и К1 = 0, так как одно место не могут занимать два человека одновременно.

Каждое составное высказывание содержит одно истинное и одно ложное (по условию). Этому соответствует логическая связка "Либо А либо В, но не оба вместе", или операция исключающего ИЛИ. Составные высказывания будут иметь вид А и не В или не А и В.  

1) Д1 и не К2 или не Д1 и К2
2) Р2 и не С4 или не Р2 и С4
3) Д2 и не С3 или не Д2 и С3.

Все три логические выражения должны выполняться одновременно, значит, они связаны логической операцией И. 

(Д1 и не К2 или не Д1 и К2) и (Р2 и не С4 или не Р2 и С4) и (Д2 и не С3 или не Д2 и С3);

Раскроем скобки:

(Д1 и не К2 и Р2 и не С4 или Д1 и не К2 и не Р2 и С4 или не Д1 и К2 и Р2 и неС4 или не Д1 и К2 и не Р2 и С4) и (Д2 и не С3 или не Д2 и С3);

Слагаемое не Д1 и К2 и Р2 и не С4 = 0, так как на одно второе место претендуют Коля и Рустем.

Слагаемое Д1 и не К2 и не Р2 и С4 = 0, так как на одно третье место претендуют Коля и Рустем.

Продолжим преобразования:

(Д1 и не К2 и Р2 и не С4 или не Д1 и К2 и не Р2 и С4) и (Д2 и не С3 или не Д2 и С3) = Д1 и не К2 и Р2 и не С4 и Д2 и не С3 или Д1 и не К2 и Р2 и неС4 и не Д2 и С3 или не Д1 и К2 и не Р2 и С4 и Д2 и не С3 или не Д1 и К2 и неР2 и С4 и не Д2 и С3 = Д1 и не К2 и Р2 и не С4 и не Д2 и С3

Слагаемое Д1 и не К2 и Р2 и не С4 и Д2 и не С3 = 0, так как на втором месте одновременно оказались Рустем и Денис.

Слагаемое не Д1 и К2 и не Р2 и С4 и Д2 и не С3 = 0, так как на втором месте одновременно оказались Коля и Денис.

Слагаемое  не Д1 и К2 и не Р2 и С4 и не Д2 и С3 = 0, так как Соня оказалась одновременно на третьем и на четвёртом месте.

Из полученной конъюнкции Д1 и не К2 и Р2 и не С4 и не Д2 и С3 следует, что Денис - на первом месте, Рустем - на втором, Соня - на третьем, Коля - на четвёртом.

Способ 2.
Рассмотрим способ решения данной задачи с помощью рассуждений. Этот метод основывается на том, что мы предполагаем, что некоторое утверждение истинно, а потом проверяем не приводит ли наше предположение к противоречию или не совпадению с условием.
1) Предположим, что в первом высказывании первая часть истина, т. е. первым будет Денис, соответственно вторая часть первого высказывания - вторым - Коля - ложь (по условию).
2) Рассмотрим третье высказывание. Первая часть третьего высказывания - Денис будет вторым - ложь, т. к. мы предположили, что Денис будет первым. Вторая часть третьего высказывания - Соня - третьей - истина (по условию).
3) Рассмотрим второе высказывание. Вторая его часть -  четвёртой - Соня - ложь, т. к. на втором шаге мы выяснили, что Соня будет третьей. Соответственно, вторым будет Рустем (по условию).
4) Методом исключения, выясняем, что Коля на четвёртом месте.
Наше предположение о том, что первая часть первого высказывания истина оказалось правильным, т. к. это не привело ни к каким противоречиям.
Но, может оказаться то, что наше предположение об истинности той или иной части не верно. Тогда, выявив противоречие, применительно именно к этой задаче, другая часть будет точно истинной.