Задача №6 (Умение построить дерево игры по заданному алгоритму и обосновать выигрышную стратегию)
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (5,3). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трёх точек: или в точку с (x+3, у), или в точку с координатами (x, у+2), или в точку с координатами (x, у+3). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами (0,0) не менее 13 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих партнёров — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Решение: Для решения этого задания, необходимо знать как находится расстояние от фишки до точки с координатами (0,0).
Рис 1.
Рассмотрим нахождение расстояния от начальной позиции фишки (5,3) до точки с координатами (0,0). OAx = 5, OAy = 3. В силу теоремы Пифагора справедливо равенствоOAx2 + OAy2 = OA2
Соответственно,
То есть, расстояние от начальной позиции фишки (5,3) до точки с координатами (0,0) равно
25 + 9 = 34. Извлекаем квадратный корень из 34, будет примерно 6. Таким образом, проверяем расстояние на всех ходах.
Итак, давайте рассмотрим все потенциальные ходы обоих игроков.
1 ход - первый игрок
| Начальная позиция | Ходы первого игрока |
| (5,3) | (8,3) |
| (5,5) | |
| (5,6) |
Таблица 1.
2 ход - второй игрок
| Ходы первого игрока | Ходы второго игрока |
| (8,3) | (11,3) |
| (8,5) | |
| (8,6) | |
| (5,5) | (8,5) |
| (5,7) | |
| (5,8) | |
| (5,6) | (8,6) |
| (5,8) | |
| (5,9) |
3 ход - первый игрок
Повторяющиеся ходы второго игрока не рассматриваем.
| Ходы второго игрока | Ходы первого игрока |
| (11,3) | (14,3) |
| (11,5) | |
| (11,6) | |
| (8,5) | (11,5) |
| (8,7) | |
| (8,8) | |
| (8,6) | (11,6) |
| (8,8) | |
| (8,9) | |
| (5,7) | (8,7) |
| (5,9) | |
| (5,10) | |
| (5,8) | (8,8) |
| (5,10) | |
| (5,11) | |
| (5,9) | (8,9) |
| (5,11) | |
| (5,12) |
Выделенные ходы является выигрышем для первого игрока, соответственно ходы: (11,3), (5,9) являются проигрышными ходами для второго игрока, по условию задачи он их не совершит.
4 ход - второй игрок
Повторяющиеся ходы первого игрока не рассматриваем.
| Ходы первого игрока | Ходы второго игрока |
| (11,5) | (14,5) |
| (11,7) | |
| (11,8) | |
| (8,7) | (11,7) |
| (8,9) | |
| (8,10) | |
| (8,8) | (11,8) |
| (8,10) | |
| (8,11) | |
| (11,6) | (14,6) |
| (11,8) | |
| (11,9) | |
| (8,9) | (11,9) |
| (8,11) | |
| (8,12) | |
| (5,9) | (8,9) |
| (5,11) | |
| (5,12) | |
| (5,10) | (8,10) |
| (5,12) | |
| (5,13) | |
| (5,11) | (8,11) |
| (5,13) | |
| (5,14) |
Выделенные ходы является выигрышем для второго игрока. На четвёртом ходу, как бы не походил первый игрок, второй игрок его выиграет. Таким образом ответом на первый вопрос будет - при безошибочной игре обоих партнёров выигрывает второй игрок.
Ответом на второй вопрос будет - первые ходы выигрывающего игрока (8,5), (8,6), (5,7), (5,8).